El área entre dos curvas
En esta sección estudiaremos como calcular el área entre dos curvas.
El problema es el siguiente: Dadas dos funciones f y g , encontrar el área contenida entre sus gráficas en el intervalo [a,b] .
Para ilustrar el problema y el procedimiento, observa el siguiente ejemplo.
f(x)= 3x3 - x2 - 10x | g(x)= - x2 + 2x |
Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.
|
En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia).
Definición de área entre dos gráficas: El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b]. |
Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.
Dentro del intervalo (-2,2), las curvas: y=2(1-x2) y y=x2-1 se intersectan en x = -1, 1. f(x)=2(1 - x2) ; g(x)=x2-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {4, 4, 4} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 4 + 4 + 4 = 12 |
Dentro del intervalo (-1,1.5), las curvas: y = -x2/3+1 y y = x2/3 se intersectan en x = 1. f(x)= -x2/3+1 ; g(x)=x2/3-1 El área entre las curvas en cada subintervalo es: {1.6, 0.15867} Cada una de estas áreas tiene que ser calculada por separado. El área total entre las curvas es: 1.6 + 0.15867 = 1.75867 |
Otros métodos: Rectángulos horizontales.
El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas.
Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)1/2.
En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X2 - X1 y de altura
X2 es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y2) y X1 es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.
y=1 | |||
Entonces el área entre las curvas es igual a | [3 - y2 - (y+1)] dy | ||
y=-2 |
Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y2) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:
9 | |
Area entre las curvas = | |
2 |
Nota: El problema anterior pudo haber sido resuelto con rectángulos verticales (integración con respecto a "x") pero hubiéramos tenido que calcular el área en dos partes. Primero en [-1,2] y luego
en [2,3].
en [2,3].
La integral de una función (definida o indefinida) puede obtenerse en DERIVE pulsando el icono Cálculo integral,
También puede obtenerse desplegando la opción Cálculo/Integrales... de la barra de menús, pulsando CTRL.+May+I o introduciendo directamente la expresión INT(f(x), x) para la integral indefinida, o INT(f(x), x, a, b) para la integral definida entre x = a y x = b.
Introduce la función f(x):=3x^2-4. Para ello, pulsa F2 o el icono
x = 3. Sitúa el cursor sobre la función que acabas de definir para resaltarla. A continuación, pulsa el icono Cálculo integral
x = 3. Sitúa el cursor sobre la función que acabas de definir para resaltarla. A continuación, pulsa el icono Cálculo integral
Representa el área limitada por el eje OX y la curva y = f (x) entre x = 2 y x = 3. Puedes hacerlo con la expresión conjunta [f(x),x=2,x=3] (introducir, simplificar y representar).
Repite la práctica anterior entre x = 0 y x = 1. ¿Qué significa el resultado negativo?
Halla la integral de f (x) entre x = 0 y x = 2.
Para comprender los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, vamos a representar la función y = f (x). Para representarla, resalta la función colocando el cursor sobre ella y pulsa el icono
Comprueba cómo las zonas de “área negativa” se compensan con las de “área positiva” en el último resultado obtenido.
Practica
1. 1. Resuelve como integrales definidas con DERIVE los ejercicios que se resuelven por métodos geométricos en las páginas 382 y 383 del libro.
2. 2. Resuelve los ejercicios propuestos en la página 383 del libro. Compara los resultados de DERIVE con los obtenidos por métodos geométricos. Representa las funciones si es preciso.
3. 3. Resuelve los ejercicios 11, 12 y 15 de la página 397 del libro, y el ejercicio 21 de la página 398.
4. 4. Resuelve el ejercicio 26 de la página 398 del libro. Para ello, tras introducir f(x):=ax^3+bx^2+cx+d, debes introducir entre corchetes [f(0)=0, f’(1)=0, f’’(0)=0, INT(f(x), x, 0, 1)=5/4]. Al simplificar, obtendrás un sistema de cuatro ecuaciones que puedes resolver con
NOTA: Las asignaciones de la forma a:=5 asocian valores a literales, que se conservan para futuras operaciones pudiendo distorsionar resultados. Para inicializar o “limpiar” variables basta simplificar a:=. Es recomendable introducir una herramienta como INIZ:=[a:=, b:=, c:=, d:=, k:=, m:=, n:=, x:=, y:=] y simplificarla de vez en cuando para “hacer limpieza”. La expresión a = 5 es una ecuación y no “deja rastro”; la expresión a:=5 es una asignación y se mantiene hasta que no se cambie o elimine.
5. 5. Resuelve de forma análoga a la práctica anterior el ejercicio 24 de la página 398. Representa la parábola obtenida y observa si hay algún recinto “negativo”. Considera que al tratarse de un área debes utilizar valores absolutos.
6. 6. Resuelve el ejercicio 27 de la página 398 del libro. Para ello, tras introducir f(x):=2x^3-3x^2+k, debes resolver con la ecuación INT(f(x), x, -1, 2)=0. Representa la función f (x) resultante.
14.2. APROXIMACIÓN DE LA INTEGRAL
Dada una función f (x) definida en un intervalo [a, b], hacemos una partición en n subintervalos. Construimos una aproximación del área bajo la curva o integral, sustituyendo la curva por una poligonal y el área por n trapecios.
El proceso es el siguiente:
–– Definimos una función f(x):=x^3-4x.
–– Generamos seis puntos (x, f (x)) con x desde 0 a 5:
VECTOR([x, f(x)], x, 0, 5)
–– Generamos las “barras” verticales:
VECTOR([[x, 0], [x, f(x)]], x, 0, 5)
–– Introducimos las tres expresiones, las simplificamos y las representamos (no olvidemos elegir la opción de puntos conectados Opciones – Pantalla (o pulsar F11) - Puntos - Unir - Sí del menú de la pantalla de gráficos).
Una aproximación numérica de la suma de los trapecios para una función f (x), previamente definida, puede obtenerse con la siguiente utilidad en función de un intervalo [a, b] y de n subintervalos:
TRAPECIOS(a, b, n):=(b-a)/n(f(a)/2+SUM(f(a+i(b-a)/n), i, 1, n-1)+f(b)/2)
Por ejemplo: TRAPECIOS( 2 , 5 , 50 ) obtiene una aproximación de la integral definida de la función activa en el intervalo [2,5] mediante 50 trapecios.
Podemos aplicarlo a otra función integrable, sin más que cambiar la definición de f (x).
14.3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y SU FUNCIÓN INTEGRAL
La integral indefinida es una “función área”. Para visualizarlo, vamos a representarla conjuntamente con f (x):
–– Resalta la expresión de f(x):=x^3-4x del ejercicio 1, pulsa el icono de Cálculo integral, elige Indefinida y simplifica. Por último, representa la función obtenida. Analiza los intervalos de crecimiento de la función integral en relación a los intervalos en que f (x) es positiva o negativa. Recuerda que la función primitiva no es única, depende de la constante de integración.
–– Elimina las gráficas generadas.
–– Ahora, vamos a generar las dos gráficas simultáneamente. Introduce entre corchetes la expresión:
[f(x), INT(f(x), x), 0]
–– Pulsa Sí para confirmar y, a continuación, pulsa el icono de Simplificar para obtener las expresiones de las funciones. (Se incluye 0 para evitar que DERIVE interprete una sola función en coordenadas paramétricas).
–– Mientras están resaltadas, pulsa el icono
Practica
7. 7. Repite la práctica anterior con las siguientes funciones:
f(x):=x^2-2x+2 f(x):=sin x f(x):=x^3-4x^2+3x
14.4. PROPIEDADES
Introduce las funciones [f(x):=3x^2+x-2, g(x):=2x-5] y evalúa las siguientes integrales:
INT(f(x), x, 1, 3) INT(f(x), x, 3, 1) INT(f(x), x, 3, 3)
INT(f(x), x, a, a) INT(f(x), x, 1, 2) INT(f(x), x, 2, 3)
INT(f(x), x, 1, 3) INT(f(x), x, 1, 2)+INT(f(x), 2, 3)=INT(f(x), x, 1, 3)
Interpreta el resultado.
INT(f(x), x, a, b)+INT(f(x), x, b, c)=INT(f(x), x, a, c)
Interpreta el resultado.
INT(g(x), x, 1, 3) INT(f(x)+g(x), x, 1, 3)
INT(f(x), x, 1, 3)+INT(g(x), x, 1, 3)=INT(f(x)+g(x), x, 1, 3)
Interpreta el resultado.
INT(f(x), x, 1, 3)-INT(g(x), x, 1, 3)=INT(f(x)-g(x), x, 1, 3)
Interpreta el resultado.
INT(f(x), x, a, b)+INT(g(x), x, a, b)=INT(f(x)+g(x), x, a, b)
INT(5f(x), x, 1, 3) 5INT(f(x), x, 1, 3) INT(-f(x), x, 1, 3)
INT(kf(x), x, a, b)=k INT(f(x), x, a, b)
Interpreta el resultado.
Observa que g(x) < f (x) en [1, 3] y lo mismo ocurre con sus integrales. Observa también que en [1, 2], f (x) > 0 y su integral también, mientras que g(x) < 0 y su integral también. Puedes visualizarlo representando la expresión siguiente:
[f(x), g(x), x=1, x=2, x=3]
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
- Considera la función f(x):=3x^2+x-2 de la práctica anterior.
El teorema del valor medio del cálculo integral prevé la existencia de un valor, a, que cumple la ecuación:
INT(f(x), x, 1, 3)=f(a)(3-1)
Introdúcela y, tras simplificarla, pulsa
REGLA DE BARROW
Define h(x):=INT(f(x), x). Se trata de una integral indefinida. Halla h(3) – h(1) y compáralo con la integral definida de f (x) entre 1 y 3.
Esta propiedad es la regla de Barrow. Compruébala también con la función g(x).
Practica
8. 8. Comprueba las propiedades ilustradas en los dos ejemplos anteriores con otras funciones, f(x) y g(x). Para ello, basta que las redefinas y vuelvas a evaluar las expresiones anteriores situando el cursor sobre ellas. Los resultados se actualizarán a las nuevas funciones.
9. 9. Comprueba el ejercicio resuelto en la página 388 del libro, y resuelve los ejercicios propuestos. Para ello, define h(x):=INT(f(x), x) en cada caso y compara
h(b) – h(a) con la integral definida de f (x) hallada con
h(b) – h(a) con la integral definida de f (x) hallada con
14.5. RELACIÓN ENTRE INTEGRAL Y DERIVADA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
La relación entre derivación e integración se pone de manifiesto hallando sucesivamente la función derivada y la integral indefinida de una función.
Considera la función f(x):=3x^2-4. Halla su función derivada y la integral indefinida del resultado, utilizando los iconos
Comprueba la coincidencia del resultado final y la función inicial.
Repite el proceso de la práctica anterior en orden inverso.
Repite las prácticas anteriores con otras funciones.
Considera la función f(x):=3x^2-4. Halla su integral definida tomando como extremo inferior x = 0 y como extremo superior x = 2z + 5.
Deriva la función resultante respecto a z.
A continuación, simplifica la expresión f (2z+5). ¿Qué relación hay entre los dos resultados? ¿Cuál es la derivada de x=2z+5 respecto a z?
Introduce la función f(t):=3t^2+4t-1. Pulsa el icono
Variable: t
Límite inferior: 0
Límite superior: 2x+1
Acepta con Sí para comprobar que se trata de la integral pretendida. Por último, simplifica para obtener el resultado.
¿Cuál será la derivada (en x) de la última expresión? Compruébalo con
Ahora, introduce f (2x + 1) y simplifica. Deriva con
Observando lo obtenido en la práctica anterior, considera la siguiente función f (x) como integral de otra función, g, entre los límites a y h(x). ¿Cuál será la derivada (en x) de esta función f (x)? Introduce para analizarlo las siguientes funciones:
g(x):=x^2-5
h(x):=3x+1
f(x):=INT(g(t), t, a, h(x)) No podemos utilizar la misma variable x en f (x) y g(x).
A continuación, deriva f (x) con
Ahora, simplifica g(h(x)) y deriva el resultado. Deriva también h(x) y multiplica los dos últimos resultados obtenidos g(h(x)) h’(x) . Compara el resultado final con el resultado anotado.
Practica
10. 10. Comprueba los ejercicios resueltos en la página 387 del libro, y resuelve los ejercicios propuestos.
11. 11. Comprueba el ejercicio 11 de la página 395 del libro.
12. 12. Comprueba el ejercicio 12 de la página 396. Define f (x) y, a continuación, resuelve f ’(x).
13. 13. Resuelve el ejercicio 25 de la página 398 del libro. Para ello, debes resolver primero las ecuaciones f ’(x) = 0 y f ’(x) = 6, para hallar los puntos de tangencia (x = a) y, luego, obtener unas ecuaciones de las rectas tangentes con la expresión
f (a) + f ’(a)(x – a). Representa la curva y sus tangentes para apreciar la figura.
f (a) + f ’(a)(x – a). Representa la curva y sus tangentes para apreciar la figura.
14.6. REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN, SU DERIVADA Y SU INTEGRAL
La expresión [f(x), f ’(x), int(f(x), x)] permite representar conjuntamente una función, f (x), su función derivada, f ’(x), y una integral indefinida. De esta forma, podemos analizar la relación entre sus crecimientos respectivos y los intervalos en los que son positivas o negativas.
Practica
17. 17. Utilizando la función anterior, f(x):=3x^2-4, representa [f(x), f’(x), int(f(x), x)].
18. 18. Define g(x):=int(f(x)) y simplifica. A continuación, representa [g(x), g’(x), g’’(x)]. ¿Qué relación hay con los resultados del ejercicio anterior?
19. 19. Repite los ejercicios anteriores con otras funciones.
14.7. CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE UNA CURVA Y EL EJE OX , O ENTRE DOS CURVAS
Para determinar los intervalos de área “positiva” o “negativa”, es preciso obtener los puntos de corte con el eje OX (bien de f (x), o de h(x) = f (x) – g(x)). Para ello, introduce la ecuación f(x)=0 y pulsa el icono Resolver,
Una vez obtenidos los valores de x, se introduce en los apartados Extremo inferior y Extremo superior de la integral “definida” correspondiente.
Vamos a hallar el área limitada por el eje OX y la gráfica de la curva y = x2 – 5x + 6. Introduce la expresión f(x):=x^2-5x+6. Resuelve la ecuación f(x)=0. Sitúa el cursor sobre la expresión de f (x) y pulsa el icono de Cálculo integral. Elige Integral definida e introduce los valores obtenidos (2 y 3) como extremos inferior y superior. Recuerda que el área real será el valor absoluto del resultado obtenido.
Si la curva representa más de dos puntos de corte, debes descomponer el área total en recintos donde la función no cambie de signo y sumar los valores absolutos de las áreas de cada uno. Puedes representar la función para visualizarlo.
Practica
20. 20. Halla el área limitada por el eje OX y la gráfica de la curva y=x^3-9x.
21. 21. Halla el área encerrada entre la curva y=x^2-1, el eje X y las rectas x=-2 y x=3. Representa conjuntamente la expresión [x^2-1, x=2, x=3] para visualizar toda la situación.
22. 22. Aplica el mismo proceso a los ejercicios que aparecen en la página 390 de tu libro. Para hallar el área limitada por dos curvas, y = f (x) e y = g(x), introduce la expresión h(x):=f(x)-g(x) y simplifica. Aplica el procedimiento descrito a la nueva función h(x).
23. 23. Comprueba los ejercicios 1 a 8 de las páginas 392, 393 y 394 del libro. Representa los recintos.
24. 24. Resuelve los ejercicios 1 a 8 de la página 397 del libro. Representa los recintos.
25. 25. Resuelve los ejercicios 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 22 y 23 de las páginas 397 y 398 del libro. Representa los recintos.
26. 26. Resuelve los ejercicios 32, 34, 35, 42 y 43 de las páginas 398 y 399 del libro.
27. 27. Resuelve el ejercicio 28 de la página 398 del libro. Para ello, introduce la siguiente expresión:
INT(x^2-a, x, 0, k)=INT(a-x^2, x, k, 1)
y resuélvela en la variable a con
x = k, la diferencia f – g cambia de signo a partir de x = k. (Se ha utilizado k en vez de x0).
x = k, la diferencia f – g cambia de signo a partir de x = k. (Se ha utilizado k en vez de x0).
28. 28. Resuelve el ejercicio 36 de la página 399 del libro. Para ello, introduce y resuelve en la variable b la expresión:
INT(x^2-bx, x, 0, b)=9/2
Observa que las dos funciones se cortan para x = 0 y x = b.
29. 29. Resuelve el ejercicio 37 de la página 399 del libro. Para ello, introduce y resuelve en la variable a la expresión:
INT(-x^2+ax, x, 0, a)=36
Observa que se debería incluir el valor absoluto de la integral por si fuera negativa, aunque en este caso no lo sea.
30. 30. Resuelve de forma análoga a las prácticas anteriores los ejercicios 38, 39 y 41 de la página 399.
31. 31. Resuelve el ejercicio 40 de la página 399. Para ello, tras introducir f(x):=x^2-2x-3, debes hallar f (0), f (1) y la recta determinada por los dos puntos.
14.8. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
Considera la función f(x):=x^2+1. Introdúcela y represéntala para observarla.
Vamos a hallar el volumen de la figurada engendrada por su gráfica al girar en torno al eje X entre las abscisas x = 0 y x = 3. Sabemos que ese volumen es la integral de
p f 2(x) entre los límites 0 y 3. Introduce los datos pulsando
p f 2(x) entre los límites 0 y 3. Introduce los datos pulsando
Construye la siguiente herramienta para hacerlo automáticamente para cualquier función f (x) entre x = a y x = b:
VOL(a , b):= INT(pi f(x)^2, x, a, b)
Aplícala al ejemplo anterior con VOL(0, 3). Comprueba que obtienes el mismo resultado ( se aplicará a la definición activa de la función f(x)).
Practica
32. 32. Halla los siguientes volúmenes (se incluye entre corchetes la función y el volumen generado) :
[f(x):=1/x , VOL(0,3) ] [f(x):=sinx ,VOL(0, pi)] [f(x):=x ,VOL(0, 5)]
[f(x):= Ö(1-x^2), VOL(-1, 1)] [f(x):= Ö(4-x^2), VOL(-2, 2)]
[f(x):= Ö(r^2-x^2),VOL (-r, r)] Volumen de una esfera de radio r.
[f(x):= bÖ(a^2-x^2)/a, VOL(-a, a)] Volumen de un elipsoide de semiejes a y b.
[f(x):= 1/x, VOL(1, inf)] Trompeta de San Gabriel.
33. 33. Para interpretar las figuras de la práctica anterior, introduce y representa las siguiente expresiones:
[1/x, -1/x, x=1, x=3] [sinx, -sinx, x=pi] [x, -x, x=5]
Ö(1-x^2) x^2/9+y^2/4=1
Considera la función f(x):=x^2-4 y halla VOL(0, 2), VOL(2, 5) y VOL(0, 5). Observa que el último volúmen es la suma de los otros dos.
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